1739 wird Hauzinger erstmals in der Schülerliste der Akademie erwähnt. 1740 widmet er sich vollkommen seiner künstlerischen Ausbildung und tritt am 27.11.1741 in die Akademie ein. 1745 erhält Hauzinger den zweiten Preis der Akademie für eine Zeichnung. 1748–1750 hielt er sich in Brixen auf, wo er als Gehilfe von Paul Troger tätig war. Im Jahr 1754 hält Hauzinger sich in Salzburg auf. Im selben Jahr erhält er gemeinsam mit Felix Ivo Leicher den ersten Preis der Akademie für das verschollene Gemälde "Salbung Sauls". Ab 1761 ist Hauzinger als Kammermaler tätig, 1769 als Interimsprofessor, ab 1772 als ordentlicher Professor der Akademie (Hauzinger wurde nie Mitglied der Akademie, da er kein Aufnahmestück einreichte).

Ab Mitte der 1750er Jahre erhielt er selbstständige Freskoaufträge (Kapelle der kaiserlichen Porzellanmanufaktur um 1755/1756, Brixener Pfarrkirche St. Michael 1757/1759, Wiener Kirche Mariahilf 1759/1760). Von Zeitgenossen wurde die Darstellung der "Vier Fakultäten" (1771, verloren) im Saal der Universität von Tyrnau als sein Hauptwerk im Fresko angesehen.

Hauzinger schuf neben Fresken hauptsächlich großformatige Historienbilder mit religiösem Inhalt. Auf Grund von mangelndem Interesse an Monumentalmalerei orientierte er sich neu und betätigte sich in Kleingattungen und im Porträtbereich.

Bei der Bronzegrisaille "Kinderbacchanal" (Inv.-Nr. 4083) orientierte sich Hauzinger an einem Relief von Duquesnoy, dieses Bild wurde 1781 von Christian Mechel zur Ausstattung der in das Belvedere übertragenen K. K. Gemäldegalerie angekauft. [aus: Gamerith, A., in: De Gruyter (Hrsg.): Allgemeines Künstlerlexikon, Bd. 70, Berlin, Boston 2011, S. 259–260]